Simulasi Monte Carlo

Simulasi monte carlo melibatkan penggunaan angka acak untuk memodelkan sistem, dimana waktu tidak memegang peranan yang substantif (model statis)

·         Pembangkit Angka Acak

Ø  Membangkitkan peubah acak (random variable) yang menyebar uniform pada interval 0 sampai 1 (U(0,1), contohnya adalah fungsi rand() pada excel)

Ø     Adalah tidak mungkin membangkitkan angka acak yang sebenarnya (truly random numbers) dengan suatu algoritma computer

·   Angka acak U(0,1) ini, kemudian ditransformasikan sehingga akan mengikuti suatu sebaran peluang yang diinginkan

Ø  Uniform (a,b)

Ø  Normal (m, s)

Ø  Simetrik Triangular (a,b)

1.       Contoh 1 - Nilai Investasi

·   Anda merencanakan untuk menginvestasikan Rp.150 juta dana yang anda miliki, dan tersedia tiga instrumen investasi yang dapat dipilih

·   Tingkat pengembalian masing-masing instrumen investasi ini merupakan peubah acak (berturut-turut RL, RM dan RH) dan sebaran masing-masing peubah acak tersebut diberikan oleh tabel 1

·    Gunakan simulasi monte carlo untuk menentukan distribusi nilai investasi setelah akhir satu tahun, berdasarkan alokasi dana awal yang telah ditentukan

Tabel 1

·         Setelah satu tahun nilai investasinya diberikan oleh rumus berikut

           V = S_L(1+R_L) + S_M(1+R_M) + S_H(1+R_H)

2.       Contoh 2 : PendugaanKeuntungan

·      Suatu perusahaan bermaksud memproduksi dan menjual produk baru dibawah pasar yang bersaing sempurna

·      Total keuntungan diberikan oleh persamaan berikut ini :
                 TP = (Q x P) – (Q x V + F)

·       Dimana :

Ø  Q adalah banyaknya unit yang terjual

Ø  V adalah biaya variabel per unit

Ø  P adalah harga jual per unit

Ø  F adalah biaya tetap untuk memproduksi produk itu

·       Pada produk ini, Q, P dan V merupakan peubah acak dengan sebaran peluang berikut

Ø  Q ~ Uniform (80.000, 120.000)

Ø  P ~ Normal (22, 5)

Ø  V ~ Normal (12, 8)

·       F diduga besarnya adalah 300.000

·       Gunakan simulasi monte carlo untuk menentukan sebaran total keuntungan dari produk yang direncanakan tersebut

3.       Contoh 3- simulasi monte carlo dengan sebaran empiris

·       Toko roti Betty memesan sejumlah roti setiap hari; disimpan dalam persediaan

·     Toko itu bermaksud menentukan berapa banyak roti yang harus dipesan setiap hari, agar keuntungannya maksimal

·      Diasumsikan bahwa semua roti yang tidak terjual pada hari itu tidak dapat dijual kembali pada hari berikutnya, dan dihitung sebagai kerugian

·       Toko Betty mengumpulkan data harian permintaan rotinya selama 100 hari, dan frekuensi permitaannya sebagai berikut

·     Ada dua skenario yang ingin dievaluasi, yang mana yang akan memberikan keuntungan maksimal

1)      Memesan sejumlah roti sama dengan permintaan pada hari sebelumnya

2)      Memesan 37 roti setiap hari tanpa memandang permintaan yang lalu

·     Misalkan roti dijual Rp.500,- per buah dan harga pembelian dari pabrik adalah Rp.250,- per buah

·       Manakah skenario yang memberikan keuntungan maksimal berdasarkan 15 hari simulasi

·       Penyelesaian

Ø  Berdasarkan tabel sebaran frekuensi yang diperoleh sebelumnya, dibuat tabel rentang angka acak.  Lebar rentang angka acak didasarkan pada frekuensi relatif tiap permintaan

Ø Titik tengah (midpoint) permintaan mewakili nilai permintaan yang akan dibangkitkan.  Hasilnya ditunjukkan oleh Tabel 3.

·       Tabel 3

Angka acak 0,173 akan bersesuaian dengan permintaan 32 roti, dan seterusnya.

·      Bangkitkan 15 buah angka acak, bersesuaian dengan 15 hari simulasi (dapat menggunakan calculator, sehingga diperoleh angka acak dengan tiga digit dibelakang koma)

·       Misalkan angka acak yang diperoleh (anda mungkin akan mendapatkan angka-angka acak yang berbeda) adalah:

0,272  0,433  0,851  0,882  0,298  0,697  0,940 0,639  0,323  0,488  0,136  0,139  0,544  0,152  0,475

·    Pada simulasi ini permintaan merupakan peubah acak yang nilai-nilainya dibangkitkan (data artifisial)

·       Penjualan = minimum nilai permintaan dan pemesanan.

·       Skenario 1:

Ø  Keuntungan = 500 (500) – 250 (550) = Rp.112.500

·       Skenario 2:

Ø  Keuntungan = 500 (515) – 250 (555) = Rp.118.750


VIDEO TUTORIAL SIMULASI MONTE CARLO

Video Tutorial Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo

Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikut sertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model Monte Carlo. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini terbagi dalam 5 tahapan:

1. Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting

2. Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap pertama

3. Menentukan interval angka random untuk tiap variabel

4. Membuat angka random

5. Membuat simulasi dari rangkaian percobaan

Penjelasan dari ke 5 tahapan tersebut adalah sebagai berikut:

1.      Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting

Gagasan dasar dari simulasi monte carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang mungkin ingin kita simulasikan.

Salah satu cara umum untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relative untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi

Contoh: Permintaan akan ban di toko ban “Benjol” selama 200 hari kebelakang terlihat di tabel berikut:

Tabel 1.

Permintaan	Frekuensi
0	10
1	20
2	40
3	60
4	40
5	30
	200 hari

Kita dapat merubah keadaan tersebut diatas menjadi distribusi kemungkinan (bila kita asumsikan tingkat penjuala dimasa lalu akan tetap bertahan sampai ke masa depan) dengan membagi tiap permintaan dengan total permintaan. Seperti pada tabel berikut:

                        Tabel 2.                      

Variabel   Permintaan	Kemungkinan terjadi
0	10/200 = 0.05
1	20/200 = 0.10
2	40/200 = 0.20
3	60/200 = 0.30
4	40/200 = 0.20
5	30/200 = 0.15
	200/200 = 1.00

2.    Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap pertama

Konversi dari distribusi kemungkinan biasa, seperti pada kolom kanan tabel 2 menjadi distribusi kumulatif dilakukan dengan menjumlahkan tiap angka kemungkinan dengan jumlah sebelumnya seperti pada tabel 3.

Tabel 3.

Variabel    Permintaan	Kemungkinan	Kemungkinan Kumulatif
0	0.05	0.05
1	0.10	0.15
2	0.20	0.35
3	0.30	0.65
4	0.20	0.85
5	0.15	1.00

Probabilitas kumulatif terlihat pada gambar dibawah, digunakan pada tahap ke 3 untuk membantu menempatkan nilai random

3.       Menentukan interval angka random untuk tiap variabel

Setelah kita menentukan probabilitas kumulatif untuk tiap variabel yan termasuk dalam simulasi, kita harus menentukan batas angka yang mewakili tiap kemungkinan hasil. hal tersebut ditujukan pada interval angka random. Penentuan interval didasari oleh kemungkinan kumulatif

Tabel 4. Interval Angka Random

Permintaan	Kemungkinan	Kemungkinan Kumulatif	Interval Angka Random
0	0.05	0.05	01 s/d 05
1	0.10	0.15	06 s/d 15
2	0.20	0.35	16 s/d 35
3	0.30	0.65	36 s/d 65
4	0.20	0.85	66 s/d 85
5	0.15	1.00	86 /d 100

4.      Memmbuat angka random

Untuk membuat angka random kita bisa menggunakan software Microsoft Excel dengan menggunakan perintah Randbetween, misal untuk angka random dari 1‐ 100, kita tuliskan perintah: =randbetween(1,100) dan  diulangi  sejumlah  baris yang diperlukan

5.       Membuat simulasi dari rangkaian percobaan

Kita bisa membuat simulasi dari sebuah eksperimen dengan mengambil angka random dari gambar diatas, misal kita akan membuat simulasi untuk 10 hari, kita ambil Kolom A1‐ A10. Cara penentuan permintaan adalah dengan ditentukan oleh angka random. Contohnya bila angka random adalah 56, angka itu terletak pada interval 36 s/d 65 yang berarti permintaan 3 buah ban

Hari	Angka                    Random	Permintaan (Simulasi)
1	28	2
2	50	3
3	78	4
4	8	1
5	16	2
6	61	3
7	98	5
8	51	3
9	45	3
10	21	2
		28

Total permintaan untuk 10 hari adalah 28 ban, rata‐rata permintaan per hari adalah 2,8 ban